Differentials - ndi chiyani ichi? Kodi kupeza masiyanidwe a kugwira ntchito?

Pamodzi ndi ena ofanana ntchito zawo differentials - izo ena mwa mfundo zofunika za masiyanidwe kakyulasi, chigawo chachikulu cha kusanthula masamu. Monga inextricably zogwirizana, onse a iwo mazana angapo chimagwiritsidwa ntchito pothetsa pafupifupi mavuto onse amene anali mayendedwe a ntchito za sayansi ndi luso.

Zikamera ndi maganizo masiyanidwe

Kwa nthawi yoyamba anafotokoza momveka bwino kuti ndi masiyanidwe limenelo, a oyambitsa ndi (pamodzi ndi Isaakom Nyutonom) masiyanidwe kakyulasi wotchuka German masamu Gotfrid Vilgelm Leybnits. Pamaso kuti masamu m'zaka 17. ntchito bwinobwino kwambiri ndi yosokoneza maganizo ena n'zochepa "chosagawanika" wa ntchito iliyonse kudziwika, woimira oche- phindu zonse koma si wolingana ndi ziro, pansipa amayamikira ntchito siingakhale chabe. Choncho iyo inali sitepe imodzi yokha oyamba a ziphunzitso za increments kakang'ono ka mfundo ntchito ndi increments awo a ntchito kuti tingasonyezere mawu a opangidwa kuchokera kwa masika. Ndipo sitepe uyu wagwidwa pafupifupi imodzi pamwamba asayansi otchuka awiri.

Kutengera pa kufunika kwa kuthetsa mwamsanga othandiza zimango mavuto amene amakumana sayansi mofulumira osauka makampani ndi luso, Newton ndi Leibniz analenga njira wamba kupeza ntchito za mlingo wa kusintha (makamaka yokhudza liwiro makina a thupi la njira yodutsamo kudziwika), zomwe zinachititsa kuti oyamba mfundo zimenezi, monga ntchito otumphukira ndi masiyanidwe, komanso anapeza aligorivimu osiyanitsidwa zothetsera vuto ngati kudziwika pa Seraya (variable) imathamanga anayendayenda kupeza njira imene zapangitsa kuti mfundo yofunika Ala.

Mu ntchito za lingaliro Leibniz ndi Newton yoyamba zinaoneka kuti differentials - ndi njila kwa increment wa mfundo zofunika Δh increments Δu ntchito zimene akhoza bwinobwino ntchito kuwerengera phindu la mtsogolo. M'mawu ena, iwo apeza kuti increment ntchito mwina nthawi imene (mwa ulamuliro wake wa tanthauzo) chimaoneka kudzera mwa otumphukira onse Δu y n'zofanana '(x) Δh + αΔh kumene α Δh - yotsala, chopezera ziro monga Δh → 0, mofulumira kwambiri kuposa leni Δh.

Malinga anayambitsa kusanthula masamu, ndi differentials - izi ndi ndendende Mauwa mu increments ntchito iliyonse. Ngakhale popanda kukhala ndi zodziwika bwino mbali malire mfundo akuoneka intuitively kuti masiyanidwe mtengo wa otumphukira amamuchititsa liziyenda pamene Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(x).

Mosiyana ndi Newton, yemwe anali kwenikweni wasayansi zida masamu ankaona ngati chida wothandiza phunziro matenda, Leibniz tcheru kwambiri Unakhazikitsidwa izi, kuphatikizapo dongosolo zizindikiro zithunzi ndi chomvetsetseka mfundo masamu. Zinali iye amene akufuna muyezo kalembedwe wa differentials ntchito Dy y n'zofanana '(x) dx, dx, ndi ndilochokera ku mtsutso ntchito monga ubale wawo Y' (x) = Dy / dx.

The tanthauzo zamakono

ndi masiyanidwe mu mawu a masamu masiku ano n'chiyani? Iwo yogwirizana kwambiri ndi mfundo za increment variable. Ngati variable Y amatenga mtengo loyamba Y Y = _1, ndiye Y y n'zofanana _2, kusiyana Y ₂ ─ Y ₁ amatchedwa increment mtengo Y. The increment ukhoza kukhala wabwino. zoipa ndi ziro. Mawu "increment" ali anasankha Δ, Δu kujambula (kuwerenga 'ankadziwana Y') amatanthauza mtengo wa increment Y. kotero Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Ngati mtengo Δu ntchito umasinthasintha Y = f (x) akhoza ankayimiridwa ngati Δu = A Δh + α, kumene A palibe kudalira Δh, T. E. A = const kwa × wapatsidwa, ndipo liwu α pamene Δh → 0 amamuchititsa ndi ngakhale mofulumira kuposa leni Δh, ndiye woyamba ( "mbuye") liwu njila Δh, ndipo ndi Y = f (x) masiyanidwe, amaimira Dy kapena df (x) (werengani "Y de", "de eff kwa X"). Choncho differentials - ndi "chachikulu" liniya ndi ulemu kwa zigawo zikuluzikulu za increments ntchito Δh.

mafotokozedwe mawotchi

Tiyeni m = f (T) - mtunda mu mzere wolunjika kusuntha mfundo chuma ku malo koyamba (T - ulendo). Increment Δs - ndiyo njira ina pa nthawi imeneyi Δt, ndi masiyanidwe DS = f '(T) Δt - njira iyi, komwe ankakhala pa nthawi yomweyo Δt, ngati anapitiriza liwiro f' (T), anafika pa nthawi T . Pamene n'zochepa Δt DS kungoganiza njira isiyana ndi Δs leni infinitesimally ndi dongosolo lapamwamba ndi kulemekeza Δt. Ngati liwiro nthawi T si wolingana ndi ziro, ndi pafupifupi mtengo DS amapereka yaing'ono kukondera mfundo.

zojambula kutanthauzira

Tiyeni mzere L ndi Zithunzi za Y = f (x). Ndiye Δ × = MQ, Δu = QM '(onani. Chithunzi m'munsimu). Tangent MN akuswa Δu kudula m'magulu awiri, QN ndi NM. Choyamba ndi Δh ndi njila QN = MQ ∙ tg (ngodya QMN) = Δh f '(x), T. E QN ndi Dy masiyanidwe.

Gawo lachiwiri la kusiyana Δu NM'daet ─ Dy, pamene Δh → 0 NM kutalika 'amachepetsa ngakhale mofulumira kuposa increment kutsutsa, mwachitsanzo lili dongosolo la smallness kuposa Δh. Pankhaniyi, ngati f '(x) ≠ 0 (sanali kufanana tangent ng'ombe) zigawo QM'i QN ofanana; mwakulankhula kwina NM 'amachepetsa mofulumira (dongosolo la smallness wa apamwamba ake) kuposa onse increment Δu = QM. Umboni Chithunzi (akuyandikira gawo M'k M NM'sostavlyaet onse ang'onoang'ono kuchuluka QM 'gawo).

Choncho, zimaonetsa masiyanidwe ntchito umasinthasintha ndi wofanana ndi increment wa kukhazikitsa wa tangent lapansi.

Otumphukira ndi masiyanidwe

Chinthu A mu Mauwa mawu akuti increment ntchito ndi wofanana ndi mtengo wa f ake otumphukira '(x). Choncho, izi ubale - Dy = f '(x) Δh kapena df (x) = f' (x) Δh.

Amadziwika kuti increment wa mkanganowo palokha ndi wofanana ndi masiyanidwe ake Δh = dx. Choncho, tikhoza kulemba: f '(x) dx = Dy.

Kupeza (nthawizina anati kukhala "nthawi za chisankho") differentials imagwiridwa ndi chimodzimodzi malamulo ngati kuti ena ofanana ndi. A mndandanda wa iwo anapatsidwa pansipa.

Kodi zambiri konsekonse: ndi increment wa mkangano kapena masiyanidwe ake

Apa m'pofunika muzipeza zofotokoza. Chifaniziro mtengo f '(x) masiyanidwe Δh zotheka tikaonetsetsa × monga kukangana. Koma ntchito angakhale ovuta, imene × kungakhale ntchito ya mtsutso T. Ndiye chizindikiro cha masiyanidwe mawu a f '(x) Δh, monga ulamuliro, sikutheka; kupatula pa nkhani ya liniya kudalira × = pa + b.

Kuti chilinganizo f '(x) dx = Dy, ndiye mu nkhani ya ufulu wodzilamulira mkangano × (ndiye dx = Δh) mu nkhani ya kudalira parametric wa × T, ndi masiyanidwe.

Mwachitsanzo, mawu akuti 2 × Δh ndi Y = × ² masiyanidwe ake pamene × amakangana. Ife tsopano × = T ² ndipo amaganiza mkangano T. Ndiye Y = × ² = T ^4.

Pamakhala (T + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ^2. Choncho Δh = 2tΔt + Δt ^2. Choncho: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Mawu amenewa si njila kwa Δt, ndipo chotero tsopano 2xΔh si masiyanidwe. Angapezeke pa aone kuti pali Y = × ² = T ^4. Ndi ofanana Dy = 4t ³ Δt.

Ngati timatenga 2xdx mawu, ndi masiyanidwe Y = × ² zifukwa T iliyonse. Inde, pamene × = T ² kupeza dx = 2tΔt.

Choncho 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, T. E. The differentials mawu wolembedwa ndi zosintha ziwiri zosiyana mwamalunji.

M'malo increments differentials

Ngati f '(x) ≠ 0, ndiye Δu ndi Dy ofanana (pamene Δh → 0); ngati f '(x) = 0 (tanthauzo ndi Dy = 0), iwo sali ofanana.

Mwachitsanzo, ngati Y = × ^2, ndiye Δu = (× + Δh) ² ─ × ² = 2xΔh + Δh ² ndi Dy = 2xΔh. Ngati × = 3, ndiye tili Δu = 6Δh + Δh ² ndi Dy = 6Δh kuti ndi ofanana chifukwa Δh ² → 0, pamene × = 0 mtengo Δu = Δh ² ndi Dy = 0 sali ofanana.

Mfundo imeneyi, pamodzi ndi kapangidwe yosavuta masiyanidwe a (m. E. Linearity ndi kulemekeza Δh), kawirikawiri amagwiritsidwa ntchito mawerengedwe zoyerekeza, pa kopanda kuti Δu ≈ Dy kwa Δh yaing'ono. Pezani masiyanidwe ntchito zambiri mosavuta kuposa kuwerengera phindu lenileni la increment wa.

Mwachitsanzo, tili ndi zachitsulo kyubu ndi m'mphepete × = 10,00 cm. Pa Kutentha m'mphepete lengthened pa Δh = 0,001 cm. Kodi kukweza kyubu V? Tili V = × ^2, kotero kuti nkhanza za m'banja = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ 0 10 ^2/01 = 3 (masentimita ^3). Kuchuluka ΔV ofanana masiyanidwe nkhanza za m'banja, kotero kuti ΔV = 3 cm ^3. Full mawerengedwe adzapereka ³ ΔV = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3.003001. Koma chifukwa cha manambala onse kupatula wosadalirika koyamba; Choncho, komabe m'pofunika sonkhanitsani kuti 3 masentimita ^3.

Mwachionekere, njira imeneyi ndi waphindu ngati n'zotheka amanena phindu choperekedwa ndi zolakwa.

Masiyanidwe ntchito: Zitsanzo

Tiyeni tiyese kupeza masiyanidwe a ntchito Y = × ^3, kupeza otumphukira. Tiyeni mtsutso increment Δu ndi kuchimvetsa.

Δu = (Δh + x) ³ ─ × ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Apa, koyefishienti A = 3x ² sikudalira Δh, kotero kuti Mauwa ndi njila Δh, ena membala 3xΔh Δh ² + ³ pamene Δh → 0 amachepetsa mofulumira kuposa increment wa mkanganowo. Choncho, membala wa 3x ² Δh ndi masiyanidwe a Y = × ^3:

Dy = 3x ² Δh = 3x ² dx kapena D (× ³⁾ = 3x ² dx.

M'menemo D (× ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ife tsopano kupeza ntchito Y = 1 / × ndi ndilochokera pa. Ndiye D (1 / x) / dx = ─1 / × ^2. Choncho Dy = ─ Δh / × ^2.

Differentials zofunika ntchito algebraic apatsidwa pansipa.

kuwerengetsera zoyerekeza ntchito masiyanidwe

Kuonanso ntchito f (x), ndipo otumphukira ake f '(x) pa × = ndi zimavuta, koma kuchita chimodzimodzi pafupi ndi × = si kophweka. Nkubwera thandizo la mawu oyerekeza

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Izi amapereka pafupifupi phindu la ntchito pa increments yaing'ono kudzera masiyanidwe ake Δh f '(a) Δh.

Choncho, dongosolo lino amapereka pafupifupi zosonyeza ntchito kumapeto mfundo ya chigawo cha kutalika Δh monga ndalama kufunika kwake pa poyambira ndi gawo (x a) ndi masiyanidwe mu poyambira chomwecho. Zoona njira kuti adziwe mfundo za ntchito pansipa chikusonyeza zojambula.

Komabe kudziwika ndi enieni zosonyeza phindu la ntchito × = munthu + Δh kwapatsidwa mwa chilinganizo increments amalire (kapena, Kapenanso, chilinganizo Lagrange a)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

komwe mpaka × = munthu + ξ ali imeneyi kwa × = kuti × = munthu + Δh, ngakhale malo ake enieni ndi losadziwika. Chilinganizo enieni walola kuti asa- zolakwa za chilinganizo idzatha. Ngati tiika mu Lagrange chilinganizo ξ = Δh / 2, ngakhale zimathera kukhala molondola, koma apatsa, monga ulamuliro, njira zambiri kuposa mawu choyambirira mawu a masiyanidwe a.

Lowunikira mitunduyi zolakwa kutsatira masiyanidwe

Kuyeza zida , mfundo zolakwika, ndi kubweretsa kwa deta muyeso lolingana cholakwa. Iwo yodziwika ndi kuchepetsa cholakwa mtheradi, kapena Mwachidule, malire zolakwa - zabwino, momveka choposa zolakwa mtengo mtheradi (kapena ambiri ofanana kwa iwo). Kuchepetsa zolakwa wachibale amatchedwa quotient akamagwira kugawa izo ndi phindu mtheradi kufunika anayeza.

Tiyeni yeniyeni chilinganizo Y = f (x) Ntchito ntchito vychislyaeniya Y, koma mtengo wa × chifukwa muyeso, choncho akubweretsa Y zolakwa. Ndiye, kupeza kuchepetsa kulakwitsa mtheradi │Δu│funktsii Y, pogwiritsa ntchito njira

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kumene │Δh│yavlyaetsya m'mbali zolakwa mtsutsano. │Δu│ kuchuluka ayenera anamaliza oposa, monga zolakwika mawerengedwe palokha ndi m'malo a increment pa masiyanidwe mawerengedwe.